Superficies Cuadraticas Ejercicios Resueltos Hot -

Paso 1: Llevar a la forma canónica. Dividimos toda la ecuación entre 36:

[ \frac4x^236 + \frac9y^236 + \fracz^236 = 1 ]

[ \fracx^29 + \fracy^24 + \fracz^236 = 1 ]

Paso 2: Identificar coeficientes:

Paso 3: Conclusión: Es un elipsoide alargado en el eje Z (pues c > a y c > b).

Paso 4: Trazas (para entender la forma):

✅ Respuesta final: Elipsoide con semiejes 3, 2, 6. (Graficarías un óvalo 3D simétrico respecto al origen). superficies cuadraticas ejercicios resueltos hot

Enunciado: Determinar la superficie: ( -x^2 - y^2 + z^2 = 1 )

Las superficies cuadráticas son el lugar geométrico de los puntos en $\mathbbR^3$ que satisfacen una ecuación de segundo grado general: $$Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0$$

Para resolver ejercicios, el objetivo principal es reducir la ecuación a su forma canónica mediante completación de cuadrados. Paso 1: Llevar a la forma canónica

Enunciado:
[ z = 2x^2 + 3y^2 + 4x - 6y + 5 ]

| Ecuación | Superficie | Característica clave | |----------|------------|----------------------| | ( \fracx^2a^2 + \fracy^2b^2 + \fracz^2c^2 = 1 ) | Elipsoide | Todos +, =1 | | ( \fracx^2a^2 + \fracy^2b^2 - \fracz^2c^2 = 1 ) | Hiperb. 1 hoja | Un -, =1 | | ( \fracz^2c^2 - \fracx^2a^2 - \fracy^2b^2 = 1 ) | Hiperb. 2 hojas | Un +, dos -, =1 | | ( z = \fracx^2a^2 + \fracy^2b^2 ) | Parab. elíptico | Variable lineal aislada | | ( z = \fracx^2a^2 - \fracy^2b^2 ) | Parab. hiperbólico | Diferencia cuadrados | | ( \fracx^2a^2 + \fracy^2b^2 - \fracz^2c^2 = 0 ) | Cono elíptico | Igual a cero |

Problema: Clasifique: ( x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 14 = 0 ). Paso 3: Conclusión: Es un elipsoide alargado en

Solución: