Regresion Lineal Multiple Ejercicios Resueltos A Mano Instant

det=15, entonces:

A^-1 = (1/15) * [89   25  -28
                    25   50  -35
                   -28  -35   26]

Numéricamente:

A^-1 = [5.9333   1.6667  -1.8667
          1.6667   3.3333  -2.3333
         -1.8667  -2.3333   1.7333]

(A) 179b₁ - 28b₂ = 252
(B) 280b₁ - 49b₂ = 390

Multiplicar (A) por 49 y (B) por 28 para igualar b₂:

(A') 8771b₁ - 1372b₂ = 12348
(B') 7840b₁ - 1372b₂ = 10920

Restar (B') de (A'): (8771-7840)b₁ = 12348-10920 → 931b₁ = 1428 → b₁ = 1428/931 ≈ 1.534

Sustituir en (A): 179*(1.534) - 28b₂ = 252 → 274.586 - 28b₂ = 252 → -28b₂ = -22.586 → b₂ ≈ 0.8066

Calcular b₀: b₀ = 134 - 93*(1.534) - 8*(0.8066) = 134 - 142.662 - 6.453 = -15.115

[ \mathbfX'\mathbfX = \beginbmatrix 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 4 \ 2 & 1 & 3 & 2 \ 1 & 2 & 3 & 4 \endbmatrix \beginbmatrix 1 & 1 & 2 & 1 \ 1 & 2 & 1 & 2 \ 1 & 3 & 3 & 3 \ 1 & 4 & 2 & 4 \endbmatrix ] regresion lineal multiple ejercicios resueltos a mano

Calculamos elemento a elemento:

Entonces: [ \mathbfX'\mathbfX = \beginbmatrix 4 & 10 & 7 & 10 \ 10 & 30 & 21 & 30 \ 7 & 21 & 18 & 21 \ 10 & 30 & 21 & 30 \endbmatrix ]

(Observación: las columnas 2 y 4 son iguales, lo que indica multicolinealidad perfecta – un problema real. Para el ejercicio didáctico, seguiremos, pero en la práctica debe corregirse.)

Simplificar (1): Dividimos entre 1 (no simplifica mucho). Lo dejamos como está.

Vamos a eliminar (\hat\beta_0) de (2) y (3) usando (1).

Multiplicamos (1) por (24/5) y restamos de (2), pero es más ordenado hacer:

De (1): (5\hat\beta_0 = 150 - 24\hat\beta_1 - 25\hat\beta_2) ⇒ (\hat\beta_0 = 30 - 4.8\hat\beta_1 - 5\hat\beta_2)

Sustituir en (2):

(24(30 - 4.8\hat\beta_1 - 5\hat\beta_2) + 138\hat\beta_1 + 135\hat\beta_2 = 774)
(720 - 115.2\hat\beta_1 - 120\hat\beta_2 + 138\hat\beta_1 + 135\hat\beta_2 = 774)
(720 + (22.8)\hat\beta_1 + 15\hat\beta_2 = 774)
(22.8\hat\beta_1 + 15\hat\beta_2 = 54) (Ecuación A)

Sustituir en (3):

(25(30 - 4.8\hat\beta_1 - 5\hat\beta_2) + 135\hat\beta_1 + 135\hat\beta_2 = 786)
(750 - 120\hat\beta_1 - 125\hat\beta_2 + 135\hat\beta_1 + 135\hat\beta_2 = 786)
(750 + 15\hat\beta_1 + 10\hat\beta_2 = 786)
(15\hat\beta_1 + 10\hat\beta_2 = 36) (Ecuación B)

Ahora resolvemos A y B:

A: (22.8\beta_1 + 15\beta_2 = 54)
B: (15\beta_1 + 10\beta_2 = 36)

Multiplicamos B por 1.5: (22.5\beta_1 + 15\beta_2 = 54)

Restamos A - (B×1.5):
((22.8 - 22.5)\beta_1 + (15-15)\beta_2 = 54 - 54)
(0.3\beta_1 = 0) ⇒ (\beta_1 = 0)

Sustituir (\beta_1=0) en B: (15(0) + 10\beta_2 = 36) ⇒ (\beta_2 = 3.6) det=15, entonces: A^-1 = (1/15) * [89 25

Ahora hallamos (\beta_0):
(\beta_0 = 30 - 4.8(0) - 5(3.6) = 30 - 18 = 12)

Construimos una tabla auxiliar:

| (Y) | (X_1) | (X_2) | (X_1^2) | (X_2^2) | (X_1 X_2) | (X_1 Y) | (X_2 Y) | |-------|---------|---------|------------|------------|-------------|-----------|-----------| | 23 | 2 | 3 | 4 | 9 | 6 | 46 | 69 | | 26 | 3 | 4 | 9 | 16 | 12 | 78 | 104 | | 30 | 5 | 5 | 25 | 25 | 25 | 150 | 150 | | 34 | 6 | 6 | 36 | 36 | 36 | 204 | 204 | | 37 | 8 | 7 | 64 | 49 | 56 | 296 | 259 | | Suma | | | | | | | | | (\sum Y = 150) | (\sum X_1 = 24) | (\sum X_2 = 25) | (\sum X_1^2 = 138) | (\sum X_2^2 = 135) | (\sum X_1 X_2 = 135) | (\sum X_1 Y = 774) | (\sum X_2 Y = 786) |

Además (n=5), (\sum Y = 150), (\sum X_1 = 24), (\sum X_2 = 25).

Given data:

| (X_1) | (X_2) | (Y) | |---------|---------|-------| | 2 | 3 | 10 | | 4 | 1 | 12 | | 6 | 2 | 16 |

Find (\hatY = b_0 + b_1X_1 + b_2X_2).

Answer (after solving): (\hatY = 6 + 1.5X_1 - 1X_2) (approximately). Numéricamente: A^-1 = [5